मान लीजिए f: N rightarrow R इस प्रकार है कि f | vedclass

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Question

(C) दिया है $f(1)=1$ और $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ जहाँ $n \geq 2$ है। मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$ है। तब $S_n = n(n+1

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(C) दिया है $f(1)=1$ और $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+n f(n)=n(n+1) f(n)$ जहाँ $n \geq 2$ है। मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} k f(k)$ है। तब $S_n = n(n+1) f(n)$ है। $n \geq 2$ के लिए, $S_n = S_{n-1} + n f(n) = n(n+1) f(n)$ है। $S_{n-1} = (n-1)n f(n-1)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(n-1)n f(n-1) + n f(n) = n(n+1) f(n)$ प्राप्त होता है। $n$ से विभाजित करने पर $(n \geq 2)$, हमें $(n-1) f(n-1) + f(n) = (n+1) f(n)$ प्राप्त होता है। $(n-1) f(n-1) = n f(n) \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n} f(n-1)$ है। $n=2$ के लिए, $f(2) = \frac{1}{2} f(1) = \frac{1}{2}$ है। $n=3$ के लिए, $f(3) = \frac{2}{3} f(2) = \frac{2}{3} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ है। सामान्यतः, $f(n) = \frac{1}{n}$ है। अतः, $f(500) = \frac{1}{500}$ है।

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यदि $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ के लिए $f(x_1) - f(x_2) = f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right)$ है,तो $f(x)$ क्या है?

ऐसे फलनों $f : \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{ a \in \mathbb{Z} : |a| \leq 8 \}$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो सभी $n \in \{1, 2, 3\}$ के लिए $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ को संतुष्ट करते हैं।

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ है। यदि $f(x) = ax^2 + bx + c$ इस प्रकार है कि $a + b + c = 3$ और $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, \forall x, y \in \mathbb{R}$,तो $\sum_{n=1}^{10} f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x+y)=f(x)f(y)$ सभी $x, y$ के लिए जहाँ $f(0) \neq 0$ है। यदि $f(5) = 2$ और $f'(0) = 3$ है,तो $f'(5)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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