मान लीजिए f(x) = [x^2] sin(pi x), x 0 के लि | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ ए

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इनमें से कोई नहीं

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(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है, अर्थात $x = \sqrt{n}$ जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$।गुणनफल $f(x) = g(x)h(x)$ के किसी बिंदु $x_0$ पर सतत होने के लिए, जहाँ $g(x)$ असतत है, $h(x_0) = 0$ होना आवश्यक है।यहाँ, $h(x) = \sin(\pi x) = 0$ तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो।यदि $x^2 = n$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) और $x$ भी एक पूर्णांक है, तो $x = \sqrt{n}$ एक पूर्णांक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि $n$ एक पूर्ण वर्ग है।यदि $x^2 = n$ है लेकिन $x$ पूर्णांक नहीं है, तो $\sin(\pi x) 
eq 0$ होता है, इसलिए फलन $f(x)$ इन बिंदुओं पर असतत रहता है।अतः, $f(x)$ केवल उन बिंदुओं पर सतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi x) = 0$ है, जो तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक है।दिए गए विकल्प सही नहीं हैं, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$, $x > 0$ के लिए। तो:

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सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं पर तत्समक फलन (identity function) $f(x) = x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

फलन के प्रांत का एक ऐसा बिंदु जहाँ फलन को पुनः परिभाषित करके असंततता को दूर नहीं किया जा सकता,उसे क्या कहा जाता है?

यदि $f(x)= \begin{cases} \frac{x-[x]}{x-2}, & x>2 \\ b, & x=2 \\ \frac{|x^2-x-2|}{a(2+x-x^2)}, & -1 < x \leq 2 \\ 2a-b, & x \leq -1 \end{cases}$ $R$ पर सतत है,तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 ax+x \tan bx}{x^2}=$

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