दिया गया है f(x) = begin{cases} frac{1-cos 4x | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञ

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$8$

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(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x)$ का पालन होना चाहिए।सबसे पहले,बायां सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2} = 2 \lim_{x 	o 0^-} \left(\frac{\sin 2x}{2x}ight)^2 	imes 4 = 2 	imes 1^2 	imes 4 = 8$.अब,दायां सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें:$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.हर का परिमेयकरण करने पर:$\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x 	o 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.चूंकि $	ext{LHL} = 	ext{RHL} = 8$,इसलिए सांतत्य के लिए $a = 8$ होगा।

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \tan x$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 + kx} - \sqrt{1 - kx}}{x} & \text{for } -1 \le x < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & \text{for } 0 \le x \le 1 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,तो $k = $

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