मान लीजिए f:[a, b] rightarrow R अंतराल [a, b] | vedclass

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Question

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।चूंकि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और

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कम से कम एक बिंदु $c \in(a, b)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c)=f(c)$ है

Vedclass · Answer

(A) एक फलन $g(x) = e^{-x} f(x)$ को परिभाषित करें।चूंकि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$ भी $[a, b]$ पर सतत और $(a, b)$ पर अवकलनीय है।हमें प्राप्त होता है $g(a) = e^{-a} f(a) = e^{-a} \cdot 0 = 0$ और $g(b) = e^{-b} f(b) = e^{-b} \cdot 0 = 0$.चूंकि $g(a) = g(b) = 0$, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक बिंदु $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g^{\prime}(c) = 0$ है।अवकलन करने पर: $g^{\prime}(x) = -e^{-x} f(x) + e^{-x} f^{\prime}(x) = e^{-x} (f^{\prime}(x) - f(x))$.$g^{\prime}(c) = 0$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $e^{-c} (f^{\prime}(c) - f(c)) = 0$.किसी भी वास्तविक $c$ के लिए $e^{-c} 
eq 0$ होता है, इसलिए $f^{\prime}(c) - f(c) = 0$ होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(c) = f(c)$ है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है, $(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

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