मान लीजिए f(x) = max {x + |x|, x - [x]}, जहाँ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$, जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।$x \in [-3, 0)$ के

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$\frac{21}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$, जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।$x \in [-3, 0)$ के लिए, $x + |x| = x - x = 0$. चूँकि $\{x\} \ge 0$, इसलिए $f(x) = \max \{0, \{x\}\} = \{x\}$.$x \in [0, 3]$ के लिए, $x + |x| = x + x = 2x$. चूँकि $x \ge 0$ के लिए $2x \ge \{x\}$, इसलिए $f(x) = 2x$.अब, समाकलन की गणना करें:$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \int_{-3}^0 \{x\} \, dx + \int_0^3 2x \, dx$$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = \int_{-3}^0 (x - [x]) \, dx$. चूँकि $n$ लंबाई के अंतराल पर भिन्नात्मक भाग का समाकलन $\frac{n}{2}$ होता है, इसलिए $\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = 3 	imes \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.अतः, $\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

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$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = $ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

$\int_{0}^{\pi/4} \sqrt{1+\sin 2x} dx = \rule{1cm}{0.15mm}$

$\int_0^{\pi / 4} [\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} {\sqrt {\cos \theta } {{\sin }^3}\theta } \,d\theta = $

मान लीजिए कि $f$ एक बहुपद फलन है, इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x^{2}+1)=x^{4}+5x^{2}+2$ है। तो $\int_{0}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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