मान लीजिए कि y(x), (1+x^{2}) frac{dy}{dx} + 2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ है।$(1+x^{2})$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)

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$\frac{1}{6}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^{2}$ है।$(1+x^{2})$ से भाग देने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^{2}}\right)y = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q(x) = \frac{4x^{2}}{1+x^{2}}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ है।सामान्य हल $y(IF) = \int Q(x)(IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{4x^{2}}{1+x^{2}}\right)(1+x^{2}) dx + C$.$y(1+x^{2}) = \int 4x^{2} dx + C = \frac{4x^{3}}{3} + C$.प्रारंभिक शर्त $y(0) = -1$ का उपयोग करते हुए, $x=0$ और $y=-1$ रखने पर:$-1(1+0^{2}) = \frac{4(0)^{3}}{3} + C \Rightarrow C = -1$.अतः, $y(1+x^{2}) = \frac{4x^{3}}{3} - 1$.$x=1$ के लिए, $y(1+1^{2}) = \frac{4(1)^{3}}{3} - 1$.$2y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.इसलिए, $y(1) = \frac{1}{6}$.

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

मान लीजिए कि $y(x)$, $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy - 4x^{2} = 0$ और $y(0) = -1$ का एक हल है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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