मान लीजिए y=y(x) अंतराल (0, infty) में एक अवक | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$. $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{t \rightar

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$23$

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(B) दिया गया सीमा: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$. $t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$. $t=x$ रखने पर: $2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$, जिसे सरल करने पर $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ प्राप्त होता है। $x^{4}$ से विभाजित करने पर ($x>0$ के लिए): $\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$. अतः, $y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$. $y(1)=2$ दिया गया है: $2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$. इस प्रकार, $y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$. अंत में, $2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

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