मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$. लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x f(x) + x^2 f'

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$160$

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(A) दिया गया समीकरण: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$. लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 = 4x f(x)$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 f'(x) - 2x f(x) = 1$. $x^2$ से भाग देने पर ($x 
eq 0$ मानते हुए): $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = \frac{1}{x^2}$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = \frac{1}{x^2}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है। $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$. $x^2$ से गुणा करने पर: $f(x) = -\frac{1}{3x} + Cx^2$. $f(1) = \frac{2}{3}$ का उपयोग करने पर: $\frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + C(1)^2 \Rightarrow C = 1$. अतः,$f(x) = x^2 - \frac{1}{3x}$. $18 f(3)$ की गणना करने पर: $f(3) = (3)^2 - \frac{1}{3(3)} = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$. $18 f(3) = 18 	imes \frac{80}{9} = 2 	imes 80 = 160$.

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$ और $f(1) = \frac{2}{3}$ है। तब $18 f(3)$ का मान $......$ है।

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