अवकल समीकरण (1 - y^2)frac{dx}{dy} + yx = ay क | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay$ है।$(1 - y^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 - y^2}x = \frac{ay}{1 - y^2

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$\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay$ है।$(1 - y^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 - y^2}x = \frac{ay}{1 - y^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{y}{1 - y^2}$ और $Q(y) = \frac{ay}{1 - y^2}$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।$I.F. = e^{\int \frac{y}{1 - y^2} dy}$.माना $1 - y^2 = t$,तो $-2y dy = dt$,या $y dy = -\frac{1}{2} dt$.$I.F. = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{-\frac{1}{2} \ln|t|} = e^{\ln|t|^{-1/2}} = |t|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$.अतः,सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $(1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay$ के लिए $(-1 < y < 1)$ समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $(e^{y-x}) dy = (e^x - e^y) dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$,$(x > 1)$ का हल है। यदि $2y(2) = \ln 4 - 1$ है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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