उस वक्र का समीकरण क्या है जिसका किसी भी बिंदु | vedclass

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Question

(B) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ द्वारा दी गई है। यह $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन

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$y=2(e^x-x-1)$

Vedclass · Answer

(B) किसी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढाल $\frac{dy}{dx} = y + 2x$ द्वारा दी गई है। यह $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। दोनों पक्षों को $e^{-x}$ से गुणा करने पर, हमें $e^{-x} \frac{dy}{dx} - y e^{-x} = 2x e^{-x}$ प्राप्त होता है। इसे $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = 2x e^{-x}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y e^{-x} = \int 2x e^{-x} dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int 2x e^{-x} dx = 2x(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$. अतः, $y e^{-x} = -2x e^{-x} - 2e^{-x} + C$. $e^x$ से गुणा करने पर, हमें $y = -2x - 2 + C e^x$ प्राप्त होता है। मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरने वाले वक्र के लिए, $0 = 0 - 2 + C(1) \Rightarrow C = 2$. इस प्रकार, $y = 2e^x - 2x - 2 = 2(e^x - x - 1)$।

उस वक्र का समीकरण क्या है जिसका किसी भी बिंदु पर ढाल $y+2x$ है?

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