यदि अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + e^x(x^2 - 2)y | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x(x^2 - 2)$ और $Q(x) = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$

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(C) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = e^x(x^2 - 2)$ और $Q(x) = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:$	ext{I.F.} = e^{\int P(x) dx} = e^{\int e^x(x^2 - 2) dx}$.ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^x(x^2 - 2x)) = e^x(x^2 - 2x) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2)$ है।अतः,$	ext{I.F.} = e^{e^x(x^2 - 2x)}$.व्यापक हल $y \cdot 	ext{I.F.} = \int Q(x) \cdot 	ext{I.F.} dx$ है।$y \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} = \int (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x} \cdot e^{e^x(x^2 - 2x)} dx$.माना $t = e^x(x^2 - 2x)$ है। तब $dt = e^x(x^2 - 2x + 2x - 2) dx = e^x(x^2 - 2) dx$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$y \cdot e^t = \int t e^t dt = t e^t - e^t + C$.दिया गया है कि $y(0) = 0$,इसलिए $x = 0$ पर $t = e^0(0^2 - 0) = 0$ है।$0 \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$.अतः,$y \cdot e^t = t e^t - e^t + 1$.$x = 2$ पर,$t = e^2(2^2 - 2(2)) = 0$ है।$y(2) \cdot e^0 = 0 \cdot e^0 - e^0 + 1 \implies y(2) = -1 + 1 = 0$.

यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + e^x(x^2 - 2)y = (x^2 - 2x)(x^2 - 2)e^{2x}$ का हल $y(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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