मान लीजिए कि x = x(y) अवकल समीकरण 2y^2 frac{d | vedclass

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Question

(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ प्राप्

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$\frac{2}{3} e^2$

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(B) दिए गए अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $v = \frac{1}{x}$, तो $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ हो जाता है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ के रूप में है, जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ है।समाकलन गुणक (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ है।सामान्य हल $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है, जो $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ देता है।दिया गया है कि $x(e) = e$, इसलिए $y = e$ पर $v = \frac{1}{e}$ है। इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$, इसलिए $1 = \frac{1}{2} + C$, जिसका अर्थ है $C = \frac{1}{2}$।अतः, $v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$।चूंकि $v = \frac{1}{x}$, इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$, जिसका अर्थ है $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$।$y = e^2$ के लिए, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$।

मान लीजिए कि $x = x(y)$ अवकल समीकरण $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ का हल है। तो $x(e^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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