अवकल समीकरण frac{dy}{dx}-y=cos x का व्यापक हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=\cos x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx

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$y=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)+Ce^{x}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=\cos x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।समीकरण के दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर:$e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x} \cos x$$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} \cos x$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y e^{-x} = \int e^{-x} \cos x dx + C$  --- $(1)$माना $I = \int e^{-x} \cos x dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:$I = \cos x (-e^{-x}) - \int (-\sin x)(-e^{-x}) dx$$I = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$$I = -e^{-x} \cos x - [\sin x (-e^{-x}) - \int \cos x (-e^{-x}) dx]$$I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I$$2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)$$I = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2}$$I$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:$y e^{-x} = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$$e^{x}$ से गुणा करने पर:$y = \frac{\sin x - \cos x}{2} + C e^{x}$.

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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