अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + y = 1 का हल है | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 1$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञा

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$y = 1 + c{e^{-x}}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 1$ है। सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$. व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है। मान रखने पर: $y \cdot e^x = \int 1 \cdot e^x dx + c$. दाहिनी ओर का समाकलन करने पर: $y \cdot e^x = e^x + c$. दोनों पक्षों को $e^x$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{e^x}{e^x} + \frac{c}{e^x} = 1 + c{e^{-x}}$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = 1$ का हल है

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{(\tan^{-1} y) - x}$ को हल कीजिए।

यदि $y=\sin x+A \cos x$, $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ का व्यापक हल है, तो अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

यदि $\tan x$, अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है, तो $P$ हो सकता है

यदि फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ और $f(0) = 0$ को संतुष्ट करता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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