यदि y=sin x+A cos x, frac{dy}{dx}+f(x)y=sec x | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$  $(i)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$  (ii) $(i)$ से, $A \cos x = y

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$\sec x$

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(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$  $(i)$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$  (ii) $(i)$ से, $A \cos x = y - \sin x$, अतः $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$. $A$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$ $\frac{dy}{dx} = \cos x - y 	an x + \sin x 	an x$ $\frac{dy}{dx} + y 	an x = \cos x + \sin x 	an x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$ इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ से तुलना करने पर, हमें $f(x) = 	an x$ प्राप्त होता है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।

यदि $y=\sin x+A \cos x$, $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ का व्यापक हल है, तो अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

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यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ ($x > 0$ के लिए) का हल वक्र है और $y(1) = 1$ है,तो $y(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

समीकरण $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$,जहाँ $y(0) = 1$ है,का हल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} - y = 0$ का हल है

अवकल समीकरण $dx = (2x + 3y - 4) dy$ का व्यापक हल है

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