माना f एक अवकलनीय फलन f : R rightarrow R है ज | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. माना $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. तब $g'(x) = \fra

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$2e$

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(C) दिया गया समीकरण: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. माना $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. तब $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$. समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$. $f(x) = (1+x^2)g'(x)$ को समीकरण में रखने पर: $g'(x) = 1 + g(x)$. यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dg}{dx} - g = 1$. समाकलन गुणक $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$. अतः,$g(x) = C e^x - 1$. चूंकि $g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$,इसलिए $0 = C - 1$,जिसका अर्थ है $C = 1$. इस प्रकार,$g(x) = e^x - 1$. तब $g'(x) = e^x$. चूंकि $f(x) = (1+x^2)g'(x)$,इसलिए $f(x) = (1+x^2)e^x$. अतः,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

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