ધારો કે x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ 2y^2 frac{dx}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ મળે છે.ધાર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3} e^2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{2y^2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2y}{x} + 1 = 0$ મળે છે.ધારો કે $v = \frac{1}{x}$, તેથી $\frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $-2y^2 \frac{dv}{dy} - 2yv + 1 = 0$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $\frac{dv}{dy} + \frac{1}{y} v = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dv}{dy} + P(y)v = Q(y)$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln y} = y$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $v \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે, જે $v \cdot y = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \ln y + C$ આપે છે.આપેલ છે કે $x(e) = e$, તેથી $y = e$ માટે $v = \frac{1}{e}$ થાય. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{e} \cdot e = \frac{1}{2} \ln e + C$, તેથી $1 = \frac{1}{2} + C$, જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{2}$.આમ, $v \cdot y = \frac{1}{2} \ln y + \frac{1}{2} = \frac{\ln y + 1}{2}$.કારણ કે $v = \frac{1}{x}$, તેથી $\frac{y}{x} = \frac{\ln y + 1}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2y}{\ln y + 1}$.$y = e^2$ માટે, $x(e^2) = \frac{2e^2}{\ln e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3} e^2$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $x \geq 0$ માટે,$y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ નો ઉકેલ હોય અને $y(2) = 0$ હોય,તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module