ધારો કે f: [1, infty) to mathbb{R} એ એક વિકલન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ છે.$x = 1$ માટે, $f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0

Vedclass · Accepted Answer

$1 + e^e$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ છે.$x = 1$ માટે, $f(1) = \int_1^1 f(t) \, dt + (1 - 1)(\log_e 1 - 1) + e = 0 + 0 + e = e$.લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$f'(x) = f(x) - 1(\log_e x - 1) + (1 - x)(1/x) = f(x) - \log_e x + 1 + 1/x - 1 = f(x) - \log_e x + 1/x$.આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $f'(x) - f(x) = \frac{1}{x} - \log_e x$.સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$ છે.$e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(f(x)e^{-x}) = e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x)$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $f(x)e^{-x} = \int e^{-x}(\frac{1}{x} - \log_e x) \, dx + C$.ગુણધર્મ $\frac{d}{dx}(e^{-x} \log_e x) = -e^{-x} \log_e x + e^{-x}/x$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $f(x)e^{-x} = e^{-x} \log_e x + C$.તેથી, $f(x) = \log_e x + Ce^x$.$f(1) = e$ હોવાથી, $e = \log_e 1 + Ce^1 \implies e = 0 + Ce \implies C = 1$.આમ, $f(x) = \log_e x + e^x$.આપણે $f(f(1)) = f(e) = \log_e e + e^e = 1 + e^e$ શોધવાનું છે.

ધારો કે $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f(f(1))$ નું મૂલ્ય શોધો:

Similar Questions

જો $\log y$ એ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય,તો $P(y) =$

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f'(x) = 7 - \frac{3}{4} \frac{f(x)}{x}, (x > 0)$ અને $f(1) \neq 4$ થાય. તો $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$

જો $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+2y=\sin(2x)$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0)=\frac{3}{4}$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

જો $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x) > 2f(x)$ અને $f(0) = 1$ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module