मान लीजिए $f: [1, \infty) \to \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है जिसे $f(x) = \int_1^x f(t) \, dt + (1 - x)(\log_e x - 1) + e$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो $f(f(1))$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $y(x)$ अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ का हल है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [0, \infty)$ के लिए $f(x) = 1 - 2x + \int_0^x e^{x-t} f(t) dt$ है। तब $y = f(x)$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$ $(x \geq 1)$ का हल है,तो $y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सूची $I$ में दिए गए अवकल समीकरणों को सूची $II$ में उनके समाकलन गुणक (Integrating Factors) के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

सही मिलान है: