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Question

(B) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$। लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f'(x) = -2 +

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$\frac{1}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x) = 1 - 2x + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt$। लाइबनीज नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $f'(x) = -2 + e^x \int_0^x e^{-t} f(t) dt + e^x (e^{-x} f(x)) = -2 + (f(x) - (1 - 2x)) + f(x) = 2f(x) + 2x - 3$। यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - 2y = 2x - 3$। समाकलन गुणक $IF = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है। $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(y e^{-2x}) = (2x - 3) e^{-2x}$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $y e^{-2x} = \int (2x - 3) e^{-2x} dx = (2x - 3) \frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2} e^{-2x} - \frac{1}{2} e^{-2x} + C$। $y = -\frac{2x-3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + C e^{2x} = -x + 1 + C e^{2x}$। चूंकि $f(0) = 1 - 0 + 0 = 1$,हमारे पास $1 = -0 + 1 + C e^0 \Rightarrow C = 0$ है। अतः,$f(x) = 1 - x$। $y = 1 - x$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0,0), (1,0), (0,1)$ हैं। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई} = \frac{1}{2} 	imes 1 	imes 1 = \frac{1}{2}$।

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