अवकल समीकरण (x+1) frac{dy}{dx} - xy = 1,जो y( | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ है। $(x+1)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है। य

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$y = \frac{1}{1+x}(2e^x - 1)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ है। $(x+1)$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ और $Q = \frac{1}{x+1}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ है। व्यापक हल $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ है। $y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$. $e^{-x}$ से भाग देने पर,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ प्राप्त होता है। चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$. अतः,$y(x+1) = 2e^x - 1$,जिससे $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$,जो $y(0) = 1$ को संतुष्ट करता है,का हल है

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