વિકલ સમીકરણ (x+1) frac{dy}{dx} - xy = 1,જે y( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે. $(x+1)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ મળે. આ $\frac{dy}{dx} + Py

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{1}{1+x}(2e^x - 1)$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે. $(x+1)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{x+1}y = \frac{1}{x+1}$ મળે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{x}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$ અને $Q = \frac{1}{x+1}$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int (-1 + \frac{1}{x+1}) dx} = e^{-x + \log(x+1)} = (x+1)e^{-x}$ થાય. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે. $y(x+1)e^{-x} = \int (\frac{1}{x+1} \cdot (x+1)e^{-x}) dx + C = \int e^{-x} dx + C = -e^{-x} + C$. $e^{-x}$ વડે ભાગતા,$y(x+1) = -1 + Ce^x$ મળે. $y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા: $1(0+1) = -1 + Ce^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$. તેથી,$y(x+1) = 2e^x - 1$,એટલે કે $y = \frac{2e^x - 1}{x+1}$.

વિકલ સમીકરણ $(x+1) \frac{dy}{dx} - xy = 1$,જે $y(0) = 1$ નું સમાધાન કરે છે,તેનો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x})(\frac{dy}{dx}+y)=1$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ એ બિંદુ $(0, \frac{\pi}{2})$ માંથી પસાર થાય છે. તો,$\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x} y(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો $u(x)$ અને $v(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ ના બે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય, તો આપેલ વિકલ સમીકરણનો અન્ય ઉકેલ કયો છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $x \, dy = y(dx + y \, dy)$,$y(1) = 1$,$y(x) > 0$ હોય,તો $y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module