यदि x^2 y - x^3 frac{dy}{dx} = y^4 cos x है,त | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac

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$\sin x + c$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:$\frac{1}{y^3 x} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x y^3} = -\frac{\cos x}{x^3}$माना $t = y^{-3} = \frac{1}{y^3}$. तब,$\frac{dt}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} \frac{dt}{dx}$.इस मान को समीकरण में रखने पर:$-\frac{1}{3} \frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{\cos x}{x^3}$$-3$ से गुणा करने पर:$\frac{dt}{dx} + \frac{3}{x} t = \frac{3 \cos x}{x^3}$यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$ है।हल $t \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा प्राप्त होता है।$t \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$$t x^3 = 3 \int \cos x dx + c$$t x^3 = 3 \sin x + c$चूँकि $t = y^{-3}$,इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

यदि $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$ है,तो $x^3 y^{-3}$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए कि $f:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है। यदि सभी $x \ge 1$ के लिए $6 \int_{1}^{x} f(t) dt = 3xf(x) + x^{3} - 4$ है, तो $f(2) - f(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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