ધારો કે f એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી x^2 f(x) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 =

Vedclass · Accepted Answer

$160$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x f(x) + x^2 f'(x) - 1 = 4x f(x)$. પદોને ગોઠવતા: $x^2 f'(x) - 2x f(x) = 1$. $x^2$ વડે ભાગતા ($x 
eq 0$ ધારીને): $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = \frac{1}{x^2}$. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^2}$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$. ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે. $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$. $x^2$ વડે ગુણતા: $f(x) = -\frac{1}{3x} + Cx^2$. $f(1) = \frac{2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + C(1)^2 \Rightarrow C = 1$. આમ,$f(x) = x^2 - \frac{1}{3x}$. $18 f(3)$ ની ગણતરી કરતા: $f(3) = (3)^2 - \frac{1}{3(3)} = 9 - \frac{1}{9} = \frac{81-1}{9} = \frac{80}{9}$. $18 f(3) = 18 	imes \frac{80}{9} = 2 	imes 80 = 160$.

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $x^2 f(x) - x = 4 \int_0^x t f(t) dt$ અને $f(1) = \frac{2}{3}$ થાય. તો $18 f(3)$ ની કિંમત $......$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$, $y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R$ માટે,ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=7$ છે. $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module