माना $P (10, 2 \sqrt{15})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है जिसके नाभियाँ $S$ और $S'$ हैं। यदि इसके नाभिलंब की लंबाई $8$ है, तो $\Delta PSS'$ के क्षेत्रफल का वर्ग किसके बराबर है:

यदि अतिपरवलय $4y^2 = x^2 + 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ निर्देशांक अक्षों को भिन्न बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती हैं,तो $AB$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

अतिपरवलय $H : x^2-y^2=1$ और केंद्र $N(x_2, 0)$ वाले वृत्त $S$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $H$ और $S$ एक-दूसरे को बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श करते हैं जहाँ $x_1 > 1$ और $y_1 > 0$ है। $P$ पर $H$ और $S$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को बिंदु $M$ पर काटती है। यदि $(l, m)$ त्रिभुज $\triangle PMN$ का केंद्रक है,तो सही कथन है/हैं:
$(A) \frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(B) \frac{dm}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2-1}}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(C) \frac{dl}{dx_1} = 1 + \frac{1}{3x_1^2}$ जहाँ $x_1 > 1$
$(D) \frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$ जहाँ $y_1 > 0$

अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-164=0$ पर स्थित किसी बिंदु $P$ और उसकी नाभियों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण प्राचलिक रूप में अतिपरवलय (hyperbola) को निरूपित करता है,जहाँ $t$ एक प्राचल है?

अतिपरवलय $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ के स्पर्शरेखा के $X$ और $Y$ अंतःखंड,जो रेखा $4x+3y=7$ के लंबवत है,क्रमशः हैं