मान लीजिए कि PQ अतिपरवलय frac{x^2}{4} - frac{ | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $1

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$\frac{8\sqrt{3}}{5}$

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(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.अतः, अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ है।मान लीजिए $P = (x_0, y_0)$ है। चूँकि $PQ$, $x$-अक्ष के लंबवत है और $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा, जहाँ $M$, $P$ से $x$-अक्ष पर लंब का पाद है।$	riangle OMP$ में, $	an 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.चूँकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है, $\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.त्रिभुज $OPQ$ की ऊँचाई $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} 	imes \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.त्रिभुज का आधार $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.$	riangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} 	imes \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

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