मान लीजिए f(x) = int frac{(2-x^2)e^x}{(sqrt{1 | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \

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$\sqrt{3e}-1$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास $f(x) = \int e^x \left( \frac{2-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$ है। अंश को $(1-x^2) + 1$ के रूप में लिखने पर: $f(x) = \int e^x \left( \frac{1-x^2}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} \right) dx$. पहले पद को सरल करने पर: $\frac{(1-x)(1+x)}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$. मान लीजिए $g(x) = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है। तब $g'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1/2} \cdot \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}(1-x)^{3/2}}$. अतः, समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ के रूप में है। इसलिए, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} + C$. चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है, $0 = e^0 \sqrt{\frac{1}{1}} + C \implies 0 = 1 + C \implies C = -1$. अतः, $f(x) = e^x \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} - 1$. $x = \frac{1}{2}$ के लिए, $f(\frac{1}{2}) = e^{1/2} \sqrt{\frac{1+1/2}{1-1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{\frac{3/2}{1/2}} - 1 = \sqrt{e} \sqrt{3} - 1 = \sqrt{3e} - 1$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{(2-x^2)e^x}{(\sqrt{1+x})(1-x)^{3/2}} dx$ है। यदि $f(0) = 0$ है, तो $f(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int {\frac{{{e^x}(x - 1)}}{{{x^2}}}\;dx = } $

$\int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^{x}(\log \sin x+\cot x) d x$ का मान है

समाकलन $\int_{1}^{2} e^{x}\left(\log _{e} x+\frac{x+1}{x}\right) d x$ का मान है

$\int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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