ધારો કે f: R to R એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ના બીજ સમાન છે, તેથી તેનો વિવેચક $D=0$ થાય. $D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ના બીજ સમાન છે, તેથી તેનો વિવેચક $D=0$ થાય. $D = (-2f^{\prime}(x))^{2} - 4f(x)f^{\prime\prime}(x) = 0 \Rightarrow 4(f^{\prime}(x))^{2} = 4f(x)f^{\prime\prime}(x) \Rightarrow (f^{\prime}(x))^{2} = f(x)f^{\prime\prime}(x)$. આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા, આપણને $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$ મળે, જે $f^{\prime}(x) = c f(x)$ માં પરિણમે છે. આપેલ છે કે $f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=2$, તેથી $2 = c(1) \Rightarrow c=2$. આમ, $f^{\prime}(x) = 2f(x) \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$. ફરીથી સંકલન કરતા, $\ln(f(x)) = 2x + C_2$. $f(0)=1$ હોવાથી, $\ln(1) = 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$. તેથી, $f(x) = e^{2x}$. હવે, $g(x) = f(\ln x - x) = e^{2(\ln x - x)}$. $g(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે, $g^{\prime}(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ. $g^{\prime}(x) = e^{2(\ln x - x)} \cdot 2(\frac{1}{x} - 1) \geq 0$. $e^{2(\ln x - x)} > 0$ હોવાથી, $\frac{1-x}{x} \geq 0$ થવું જોઈએ. આ અસમતા $x \in (0, 1]$ માટે સાચી છે. તેથી, અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(0, 1)$ છે, એટલે કે $\alpha=0$ અને $\beta=1$. તેથી, $\alpha+\beta = 0+1 = 1$.

Similar Questions

ધારો કે $a$ એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી $a^5-a^3+a=2$ થાય. તો,

ઘન વિધેય $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$ માટે,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

$x > 0$ માટે વિધેયો $f_{1}(x) = x$ અને $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ ધ્યાનમાં લો. આ વિધેયોના આલેખ ક્યાં છેદે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module