मान लीजिए alpha = frac{1}{4} + frac{1}{8} + f | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले, अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करके $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात करें।$\alpha$ के लिए

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(C) सबसे पहले, अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करके $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात करें।$\alpha$ के लिए: $a = 1/4$, $r = 1/2$, इसलिए $\alpha = \frac{1/4}{1-1/2} = 1/2$.$\beta$ के लिए: $a = 1/3$, $r = 1/3$, इसलिए $\beta = \frac{1/3}{1-1/3} = 1/2$.अब, इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(1/2)} + (0.04)^{\log_{5}(1/2)}$.ध्यान दें कि $0.2 = 5^{-1}$ और $0.04 = 5^{-2}$ है।प्रथम पद के लिए: $\log_{\sqrt{5}}(1/2) = \frac{\log_5(1/2)}{\log_5(5^{1/2})} = \frac{-\log_5(2)}{1/2} = -2 \log_5(2)$.अतः, $(5^{-1})^{-2 \log_5(2)} = 5^{2 \log_5(2)} = 5^{\log_5(2^2)} = 2^2 = 4$.दूसरे पद के लिए: $(5^{-2})^{\log_5(1/2)} = (5^{\log_5(1/2)})^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4$.परिणामों का योग: $4 + 4 = 8$.

मान लीजिए $\alpha = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots \infty$ और $\beta = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots \infty$ है। तो $(0.2)^{\log_{\sqrt{5}}(\alpha)} + (0.04)^{\log_{5}(\beta)}$ का मान क्या होगा?

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