ધારો કે (2^{1-a} + 2^{1+a}), f(a), (3^a + 3^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $(2^{1-a} + 2^{1+a})$, $f(a)$, અને $(3^a + 3^{-a})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.કારણ કે $2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4}\log_e(\frac{4}{3})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $(2^{1-a} + 2^{1+a})$, $f(a)$, અને $(3^a + 3^{-a})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, તેથી $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$.કારણ કે $2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a)$, અને $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ, $2^a + 2^{-a} \geq 2$, તેથી $2^a + 2^{-a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.તે જ રીતે, $3^a + 3^{-a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.આમ, $2f(a) \geq 2(2) + 2 = 6$, જેનો અર્થ છે કે $f(a) \geq 3$. તેથી, $\alpha = 3$.સંકલન $I = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e 2}^{\log_e 3} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ બને છે.ધારો કે $u = e^{2x}$, તો $du = 2e^{2x} dx$, તેથી $e^{2x} dx = \frac{du}{2}$.જ્યારે $x = \log_e 2$, ત્યારે $u = e^{2\log_e 2} = 4$. જ્યારે $x = \log_e 3$, ત્યારે $u = e^{2\log_e 3} = 9$.$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_e |\frac{u-1}{u+1}| \Big|_4^9 = \frac{1}{4} (\log_e \frac{8}{10} - \log_e \frac{3}{5}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3}) = \frac{1}{4} \log_e (\frac{4}{3})$.

Similar Questions

$\int_0^2 \sqrt{\frac{2 + x}{2 - x}} \,dx = $

$\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) \, dx = $

$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) \right] dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi /4} {\frac{{\sin x + \cos x}}{{9 + 16\sin 2x}}\,dx = } $

$\int_{-2}^2 |x^2-x-2| dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module