माना $S = \{x \in [-\pi, \pi] : \sin x(\sin x + \cos x) = a, a \in Z\}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए:

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए (यहाँ $\Delta$,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल दर्शाता है।)

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\sum \cot A$	$(i)$ $\frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$
$(B)$ $\sum \cot \frac{A}{2}$	$(ii)$ $\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$
$(C)$ यदि $\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$,तो $\sin A : \sin B : \sin C =$	$(iii)$ $8 : 6 : 5$
$(D)$ यदि $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$,तो $a : b : c =$	$(iv)$ $12 : 5 : 13$
	$(v)$ $\sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$
	$(vi)$ $4\Delta$

तो सही मिलान है

यदि समीकरण $2 \sin^2 x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ का कम से कम एक वास्तविक हल है,तो $k$ के सभी पूर्णांक मानों का योग क्या है?

यदि $p_1, p_2, p_3$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंब (altitudes) हैं और $a=4, b=5, c=6$ भुजाएँ हैं,तो $\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} =$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ $2$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। यदि कोण $A, B$ और $C$ के $3$ समद्विभाजकों को वृत्त को क्रमशः $A_1, B_1$ और $C_1$ पर काटने के लिए बढ़ाया जाता है,तो $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\triangle ABC$ में,सामान्य संकेतों के साथ,$m \angle C = \frac{\pi}{2}$ है। यदि $\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ और $\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ समीकरण $a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ $(a_1 \neq 0)$ के मूल हैं,तो: