माना {I_1} = int_a^{pi - a} {xf(sin x)dx} और | vedclass

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Question

(C) दिया गया है ${I_1} = \int_a^{\pi - a} {xf(\sin x)dx}$।गुणधर्म $\int_a^b {f(x)dx = \int_a^b {f(a + b - x)dx} }$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता

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$\frac{2}{\pi }{I_1}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है ${I_1} = \int_a^{\pi - a} {xf(\sin x)dx}$।गुणधर्म $\int_a^b {f(x)dx = \int_a^b {f(a + b - x)dx} }$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:${I_1} = \int_a^{\pi - a} {(\pi - x)f(\sin(\pi - x))dx}$।चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,यह पद इस प्रकार होगा:${I_1} = \int_a^{\pi - a} {(\pi - x)f(\sin x)dx}$।${I_1} = \pi \int_a^{\pi - a} {f(\sin x)dx} - \int_a^{\pi - a} {xf(\sin x)dx}$।${I_1} = \pi {I_2} - {I_1}$।$2{I_1} = \pi {I_2}$।अतः,${I_2} = \frac{2}{\pi }{I_1}$।

माना ${I_1} = \int_a^{\pi - a} {xf(\sin x)dx}$ और ${I_2} = \int_a^{\pi - a} {f(\sin x)dx}$,तो ${I_2}$ किसके बराबर है?

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यदि $f:R \to R$ और $g:R \to R$ एकैकी (one-to-one),वास्तविक मान वाले फलन हैं,तो समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ का मान क्या है?

$\int\limits_0^{\pi / 2n} \frac{dx}{1 + \tan^n(nx)} = $

$\int_{\pi / 11}^{9 \pi / 22} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}} = $

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \log (\sec \theta - \tan \theta) \, d\theta$ का मान है

मान लीजिए कि $f$,$[0,1]$ पर परिभाषित एक सतत फलन है,इस प्रकार कि $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ है। तब,$f$ का परिसर

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