ધારો કે f(x) = frac{sin x}{x},તો int_{0}^{fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. આપણે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. વિધેયની કિંમત

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. આપણે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. વિધેયની કિંમત મૂકતા,$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{\frac{\pi}{2} - x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{x(\frac{\pi}{2} - x)} dx$. આનું સાદું રૂપ આપતા $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{2x(\frac{\pi}{2} - x)} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{x(\pi - 2x)} dx$ મળે. ધારો કે $t = 2x$,તો $dt = 2dx$ અથવા $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$. $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t(\pi - t)} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t(\pi - t)} dt$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(\pi - t)} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{\pi - t} \right)$. $I = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin t \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{\pi - t} \right) dt = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt + \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{\pi - t} dt \right)$. બીજા સંકલનમાં,ધારો કે $u = \pi - t$,તો $du = -dt$. સંકલન $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin u}{u} du$ બને છે. આમ,$I = \frac{1}{2\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt \right) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(t) dt$.

ધારો કે $f(x) = \frac{\sin x}{x}$,તો $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx =$

Similar Questions

$\int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx =$

$\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2x-1}{1+x-x^{2}}\right) dx =$

$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

$\int_{-2}^{2} (ax^3 + bx + c) dx$ નું મૂલ્ય કોના પર આધાર રાખે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module