मान लीजिए $f(1) = -2$ और $1 \le x \le 6$ के लिए $f'(x) \ge 4.2$ है। $f(6)$ का न्यूनतम संभव मान क्या है?

दिया गया है कि $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर सतत अवकलनीय है जहाँ $a < b, f(a) < 0$ और $f(b) > 0$,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य है?
$(i)$ $f(x)$ अंतराल $a \le x \le b$ पर परिबद्ध (bounded) है।
$(ii)$ समीकरण $f(x) = 0$ का $a < x < b$ में कम से कम एक हल है।
$(iii)$ $f(x)$ का अधिकतम और न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होता है जहाँ $f'(c) = 0$ है।
$(iv)$ $a < c < b$ में कम से कम एक बिंदु $c$ ऐसा है जहाँ $f'(c) > 0$ है।
$(v)$ $a < d < b$ में कम से कम एक बिंदु $d$ ऐसा है जहाँ $f'(d) < 0$ है।

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ कहीं भी शून्य नहीं होता है,तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5).$

समय $t$ पर एक चलती कार की स्थिति $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ द्वारा दी गई है,जहाँ $a, b$ और $c$ $1$ से बड़ी वास्तविक संख्याएँ हैं। तो समय अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ के दौरान कार की औसत गति किस बिंदु पर प्राप्त होती है?

$f:[2,10] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$ अंतराल $[1, 3]$ के लिए रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?