ધારો કે $f(x) = (x-4)(x-5)(x-6)(x-7)$,તો -

$f:[1,3] \rightarrow R$ એ $f(x)=x^3+a x^2+b x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. જો $f(1)-f(3)=0$ અને $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય, તો $a-b$ ની કિંમત શોધો.

$f(x) = |x - 2| + |x - 5|, x \in R$ વિધેય ધ્યાનમાં લો.
વિધાન-$1$: $f'(4) = 0$.
વિધાન-$2$: $f$ એ $[2, 5]$ માં સતત છે,$(2, 5)$ માં વિકલનીય છે અને $f(2) = f(5)$.

ધારો કે $f(x)$ એ $[0,6]$ પર સતત છે અને $(0,6)$ પર વિકલનીય છે. ધારો કે $f(0)=12$ અને $f(6)=-4$. જો $g(x)=\frac{f(x)}{x+1}$ હોય, તો કોઈ લેગ્રાન્જ અચળાંક $c \in(0,6)$ માટે, $g^{\prime}(c)=$

જો $f:[-5,5] \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય હોય અને જો $f^{\prime}(x)$ ક્યાંય પણ શૂન્ય ન થતું હોય,તો સાબિત કરો કે $f(-5) \neq f(5).$

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a+3b+6c=0$ અને ધારો કે $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
વિધાન-$I$ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$II$ : $[0,1]$ પર $g(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
તો