ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય f સમીકરણ int_{0}^{36 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$, તેથી $du = \frac{x}{36} dt$, એટલે કે $dt = \

Vedclass · Accepted Answer

$64$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$, તેથી $du = \frac{x}{36} dt$, એટલે કે $dt = \frac{36}{x} du$.જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=36, u=x$.સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.$f(x)$ એ પ્રમાણિત પરવલય હોવાથી, ઘાતાંક $2$ હોવો જોઈએ, તેથી $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.આમ, $f(x) = cx^2$.તે $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.તેથી, $f(x) = \frac{x^2}{4}$.$(-4, \beta)$ બિંદુ માટે, $\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.અંતે, $\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.

Similar Questions

સમીકરણ $\int_0^{x^2} x f(t) dt = x^5 - x^3$ આપેલ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

$\mathop {Limit}\limits_{x \to {x_1}} \,\,\frac{x}{{x - {x_1}}}\,\,\int\limits_{{x_1}}^x {f(t)} \, dt$ ની કિંમત શોધો:

જો $x \cdot \sin(\pi x) = \int_{0}^{x^2} f(t) \, dt$ હોય,જ્યાં $f$ એ સતત વિધેય છે,તો $f(4)$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2 - t^2} dt$. તો સમીકરણ $x^2 - f'(x) = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module