ધારો કે e એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકનો આધાર છે. વાસ્ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$તેથી,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.લક્ષ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,અંશમાં $x$ ની ઘાત છેદ $x^a$ સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ. તેથી,$a = 1$.

Similar Questions

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{|x| + {x^2}} = $

જો $0 < p < q$ હોય,તો $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(q^n+p^n\right)^{1 / n}$ ની કિંમત શું થાય?

$x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $\left[\frac{1}{x^{2}}+\frac{(2013)^{x}}{e^{x}-1}-\frac{1}{e^{x}-1}\right]$ ની લક્ષ કિંમત શું થાય?

$\mathop {Limit}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{\left( {{2^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}\,\, - \,\,{{\left( {{3^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}}}{{{x^n}}}\,$ (જ્યાં $n \in N$) ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module