माना एक अवकलनीय फलन f:(0, infty) rightarrow m | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x)-f(y) \geq \ln x - \ln y + x - y$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$ प्राप्त होता है।माना $g

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$2890$

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(B) दिया गया है $f(x)-f(y) \geq \ln x - \ln y + x - y$.पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$ प्राप्त होता है।माना $g(x) = f(x) - x - \ln x$ है। तो सभी $x, y \in (0, \infty)$ के लिए $g(x) \geq g(y)$ है।इसका अर्थ है कि $g(x)$ एक अचर फलन है,मान लीजिए $C$ है।अतः,$f(x) - x - \ln x = C$,जिसका अर्थ है $f(x) = x + \ln x + C$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।अब,हमें $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}ight)$ की गणना करनी है।$f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}ight) = 1 + \frac{1}{1/n^2} = 1 + n^2$ है।इसलिए,$\sum_{n=1}^{20} (1 + n^2) = \sum_{n=1}^{20} 1 + \sum_{n=1}^{20} n^2$ है।$= 20 + \frac{20(20+1)(2 	imes 20 + 1)}{6} = 20 + \frac{20 	imes 21 	imes 41}{6}$ है।$= 20 + 10 	imes 7 	imes 41 = 20 + 2870 = 2890$ है।

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