मान लीजिए कि फलन f(x) = x^2 + x + sin x - cos | vedclass

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Question

(B) अंतराल $[0, 1]$ से $[-1, 1]$ तक का विषम विस्तार $g(x)$ को शर्त $g(-x) = -g(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए।$x \in (0, 1]$ के लिए,विषम विस्तार $g(x) = -f

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$-x^2 + x + \sin x + \cos x - \log(1 + |x|)$

Vedclass · Answer

(B) अंतराल $[0, 1]$ से $[-1, 1]$ तक का विषम विस्तार $g(x)$ को शर्त $g(-x) = -g(x)$ को संतुष्ट करना चाहिए।$x \in (0, 1]$ के लिए,विषम विस्तार $g(x) = -f(-x)$ द्वारा परिभाषित होता है।दिया गया है $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$.अतः $f(-x) = (-x)^2 + (-x) + \sin(-x) - \cos(-x) + \log(1 + |-x|)$.हम जानते हैं कि $\sin(-x) = -\sin x$,$\cos(-x) = \cos x$ और $|-x| = |x|$,इसलिए:$f(-x) = x^2 - x - \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$.अब,$x \in (0, 1]$ के लिए विषम विस्तार $g(x)$ इस प्रकार होगा:$g(x) = -f(-x) = -(x^2 - x - \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)) = -x^2 + x + \sin x + \cos x - \log(1 + |x|)$.यह परिणाम विकल्प $B$ से मेल खाता है।

मान लीजिए कि फलन $f(x) = x^2 + x + \sin x - \cos x + \log(1 + |x|)$ अंतराल $[0, 1]$ पर परिभाषित है। अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x)$ का विषम विस्तार (odd extension) क्या है?

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