मान लीजिए कि परवलय y^2=4x की नाभीय जीवा PQ,धन | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S$ $(1, 0)$ है।मान लीजिए $P$ $(t^2, 2t)$ है। नाभीय जीवा $PS$ की ढाल $\frac{2t-0}{t^2-1} = 	an 60^{\circ} = \sq

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$15$

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(A) परवलय $y^2=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S$ $(1, 0)$ है।मान लीजिए $P$ $(t^2, 2t)$ है। नाभीय जीवा $PS$ की ढाल $\frac{2t-0}{t^2-1} = 	an 60^{\circ} = \sqrt{3}$ द्वारा दी गई है।$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$t > 0$,इसलिए $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।अतः,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$।व्यास $PS$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है,जहाँ $P=(3, 2\sqrt{3})$ और $S=(1, 0)$ है।$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, \alpha)$ पर स्पर्श करता है,हम $x=0$ रखते हैं:$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है,इसलिए $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$।अतः,$\alpha = \sqrt{3}$।इसलिए $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 	imes 3 = 15$।

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