ધારો કે વિધેય $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \frac{4^x}{4^x+2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f\left(\frac{1}{40}\right) + f\left(\frac{2}{40}\right) + f\left(\frac{3}{40}\right) + \dots + f\left(\frac{39}{40}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે, $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |

એક વિધેય $f : N \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $x \geq 2$ માટે $f(1)+2 f(2)+3 f(3)+\ldots+x f(x)=x(x+1) f(x)$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $f(1)=1$ છે. તો $\frac{1}{f(2022)}+\frac{1}{f(2028)}$ ની કિંમત શોધો.

List-$I$ ની વસ્તુઓને List-$II$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ નો વિસ્તાર, જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે	$I$. અયુગ્મ વિધેય
$B$. $f(x)$ નો પ્રદેશ જ્યાં $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$

જો $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$ હોય,તો $f(x+y) \cdot f(x-y)$ શું થાય?

$f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. વિધાન $(A):$ અમુક $c \in R$ માટે $f(c) = \frac{1}{3}$. કારણ $(R):$ તમામ $x \in R$ માટે $0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$. તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?