ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)} + \frac{2}{e^{\pi x}} \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{(x^2 - x + 3)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $R$ માં $f(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

સમીકરણ $\sqrt{2}+e^{\cosh^{-1} x}-e^{\sinh^{-1} x}=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $R^{+}$ એ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. $R$ ના ઉપગણો $A$ અને $B$ માટે, $f: A \rightarrow B$ ને $f(x) = x^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો, જ્યાં $x \in A$. નીચે આપેલી યાદીઓને જોડો:
| સ્તંભ $I$ | સ્તંભ $II$ |
| :--- | :--- |
| $A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે, જો | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી, જો | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી, જો | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી, જો | $4$. $A = B = R^{+}$ |

ધારો કે $g(x) = ||x + 2| - 3|$. જો $a$ એ સાપેક્ષ ન્યૂનતમ (relative minima) ની સંખ્યા દર્શાવે છે,$b$ એ સાપેક્ષ મહત્તમ (relative maxima) ની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $c$ એ $g(x)$ ના શૂન્યોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે,તો $(a + 2b - c)$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f(x) = \frac{2^{x+2} + 16}{2^{2x+1} + 2^{x+4} + 32}$. તો $8 \left( f \left( \frac{1}{15} \right) + f \left( \frac{2}{15} \right) + \dots + f \left( \frac{59}{15} \right) \right)$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $f(x) = \text{sgn}(x) \cdot \sin x$ એ