मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + f | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 5a$। उत्केंद्रता $e$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(t) = t^2 + t + \frac{11}

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$126$

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(B) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 5a$। उत्केंद्रता $e$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं। अवकलन करने पर,$f'(t) = 2t + 1 = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$। न्यूनतम मान $f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{3 - 6 + 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$e = \frac{2}{3}$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{9}$। दीर्घवृत्त के लिए,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,जो देता है $\frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$। $b^2 = 5a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5a}{a^2} = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{5}{a} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $a = 9$। अतः $b^2 = 5(9) = 45$। इसलिए,$a^2 + b^2 = 9^2 + 45 = 81 + 45 = 126$।

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