माना रेखा L,समतल x-2y-z=3 में रेखा frac{x-1}{ | vedclass

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Question

(B) दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ है। माना $P(1,3,4)$,$L_1$ पर एक बिंदु है। $P$ से समतल $x-2y-z-3=0$ पर लंब का पाद $Q$ ह

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(B) दी गई रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ है। माना $P(1,3,4)$,$L_1$ पर एक बिंदु है। $P$ से समतल $x-2y-z-3=0$ पर लंब का पाद $Q$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-4}{-1} = t$ है। अतः $Q = (t+1, -2t+3, -t+4)$। चूँकि $Q$ समतल पर स्थित है,$(t+1) - 2(-2t+3) - (-t+4) = 3 \Rightarrow t+1+4t-6+t-4=3 \Rightarrow 6t=12 \Rightarrow t=2$। अतः,$Q = (3,-1,2)$।$L_1$ और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु $R$,$2k+1 - 2(k+3) - (2k+4) = 3 \Rightarrow 2k+1-2k-6-2k-4=3 \Rightarrow -2k=12 \Rightarrow k=-6$ द्वारा प्राप्त होता है। अतः $R = (-11,-3,-8)$।रेखा $L$,$Q(3,-1,2)$ और $R(-11,-3,-8)$ से होकर गुजरती है। $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = Q-R = (14, 2, 10)$ है,जो $(7, 1, 5)$ के समांतर है।बिंदु $A(0,0,6)$ की रेखा $L$ (जो $B(3,-1,2)$ से गुजरती है और दिशा $\vec{v} = (7,1,5)$ है) से दूरी $d = \frac{|\vec{AB} 	imes \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।$\vec{AB} = (3-0, -1-0, 2-6) = (3, -1, -4)$।$\vec{AB} 	imes \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & -1 & -4 \ 7 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+4) - \hat{j}(15+28) + \hat{k}(3+7) = (-1, -43, 10)$।$d^2 = \frac{(-1)^2 + (-43)^2 + 10^2}{7^2 + 1^2 + 5^2} = \frac{1 + 1849 + 100}{49 + 1 + 25} = \frac{1950}{75} = 26$।

माना रेखा $L$,समतल $x-2y-z=3$ में रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ का प्रक्षेप है। यदि $d$,बिंदु $(0,0,6)$ की $L$ से दूरी है,तो $d^2$ का मान .... है।

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दिखाइए कि रेखाएँ $\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$ और $\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-5}{5}$ समतलीय हैं।

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