ધારો કે $7$ અવલોકનો $2, 4, 10, x, 12, 14, y$ (જ્યાં $x > y$) નો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $8$ અને $16$ છે. ગણ $\{1, 2, 3, x-4, y, 5\}$ માંથી બે સંખ્યાઓ વારાફરતી પુનરાવર્તન વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. તો બે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા $4$ કરતા ઓછી હોય તેની સંભાવના શોધો:

જો $l, m$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ના કોઈપણ બે ઘટકો (સમાન અથવા અલગ) દર્શાવતા હોય,તો તમામ $x \in R$ માટે $lx^2 + mx + 1 > 0$ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

$A, B, C$ એ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે જેથી $P(A) = \frac{3x+1}{3}$, $P(B) = \frac{1-x}{4}$ અને $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ થાય. તો $x$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ છે:

ફૂટબોલ ટીમો $T_1$ અને $T_2$ એકબીજા સામે બે મેચ રમે છે. બંને મેચના પરિણામો સ્વતંત્ર છે. $T_1$ ની $T_2$ સામે જીતવાની,ડ્રો કરવાની અને હારવાની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ અને $\frac{1}{3}$ છે. દરેક ટીમને જીત માટે $3$ પોઈન્ટ,ડ્રો માટે $1$ પોઈન્ટ અને હાર માટે $0$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ એ બે મેચ પછી અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ ટીમો દ્વારા મેળવેલા કુલ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
$(1)$ $P(X>Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ શું છે?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

એક રમતમાં, વ્યક્તિ $A$ દ્વારા બે પાસાઓ એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે અને વ્યક્તિ $B$ દ્વારા $52$ પત્તાના પેકમાંથી બે પત્તા યાદચ્છિક રીતે એકસાથે ખેંચવામાં આવે છે. જો $A$ ને બંને પાસાઓ પર દેખાતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે અને $B$ ને એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ મળે, તો તેઓ રમત જીતે છે. તો $A$ અને $B$ બંને જીતે તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક બોક્સ $B_1$ માં $1$ સફેદ દડો,$3$ લાલ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. બીજા બોક્સ $B_2$ માં $2$ સફેદ દડા,$3$ લાલ દડા અને $4$ કાળા દડા છે. ત્રીજા બોક્સ $B_3$ માં $3$ સફેદ દડા,$4$ લાલ દડા અને $5$ કાળા દડા છે.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.