मान लीजिए कि $7$ प्रेक्षणों $2, 4, 10, x, 12, 14, y$ (जहाँ $x > y$) का माध्य और प्रसरण क्रमशः $8$ और $16$ हैं। समुच्चय $\{1, 2, 3, x-4, y, 5\}$ में से दो संख्याएँ बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक चुनी जाती हैं। तो इस बात की प्रायिकता कि चुनी गई दो संख्याओं में से छोटी संख्या $4$ से कम है, क्या होगी:

$A, B, C$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जहाँ $P(A) = \frac{3x+1}{3}$, $P(B) = \frac{1-x}{4}$ और $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ है। तो $x$ के संभावित मानों का समुच्चय है:

मान लीजिए $|X|$ समुच्चय $X$ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है,जहाँ प्रत्येक तत्व के घटित होने की संभावना समान है। यदि $A$ और $B$ $S$ से जुड़ी स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $1 \leq |B| < |A|$ हो।

समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ से तीन संख्याएँ यादृच्छिक रूप से,एक के बाद एक प्रतिस्थापन के साथ चुनी जाती हैं। मान लीजिए $p_1$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान कम से कम $81$ है और $p_2$ वह प्रायिकता है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान अधिकतम $40$ है।
$(1)$ $\frac{625}{4} p_1$ का मान क्या है?
$(2)$ $\frac{125}{4} p_2$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $E$ और $F$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं। उनमें से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $\frac{11}{25}$ है और उनमें से किसी के भी न घटित होने की प्रायिकता $\frac{2}{25}$ है। यदि $P(T)$ घटना $T$ के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $P(E)=\frac{4}{5}, P(F)=\frac{3}{5}$
$(B)$ $P(E)=\frac{1}{5}, P(F)=\frac{2}{5}$
$(C)$ $P(E)=\frac{2}{5}, P(F)=\frac{1}{5}$
$(D)$ $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{4}{5}$

बिंदुओं $(x, y)$ के समुच्चय $A_n$ पर विचार करें जैसे कि $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,जहाँ $n, x, y$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $S_n$ उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो $A_n$ के कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए कि हम $S_n$ से यादृच्छिक रूप से एक रेखा $l$ चुनते हैं। मान लीजिए $P_n$ वह प्रायिकता है कि $l$,वृत्त $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ की स्पर्शरेखा है। तो,सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ है