मान लीजिए कि समीकरण E_1 equiv x^3+x^2+lx+n=0 | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x_1+x_2+x_3 = -1$. दिया गया है कि $E_2: x^3+ax^2+bx

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$\sqrt{3}i, -\sqrt{3}i, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ के मूल हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x_1+x_2+x_3 = -1$. दिया गया है कि $E_2: x^3+ax^2+bx+c=0$ प्रथम प्रकार का व्युत्क्रम समीकरण है,इसलिए $c=1$ और $a=b$. अतः,$E_2: x^3+ax^2+ax+1=0$. $E_2$ के मूल $\frac{x_i-1}{2}$ हैं। $E_2$ के मूलों का योग $\sum \frac{x_i-1}{2} = \frac{(x_1+x_2+x_3)-3}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$. $E_2$ से,मूलों का योग $-a$ है,इसलिए $-a = -2 \Rightarrow a=2$. $E_2$ समीकरण $x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) = 0$ बन जाता है। $E_2$ के मूल $-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ हैं। $\frac{x_i-1}{2} = y_i$ का उपयोग करने पर,$x_i = 2y_i+1$. $y_1 = -1$ के लिए,$x_1 = 2(-1)+1 = -1$. $y_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_2 = 2(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})+1 = i\sqrt{3}$. $y_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_3 = 2(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})+1 = -i\sqrt{3}$. $E_1$ के मूल $\{-1, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}\}$ हैं। $E_2$ के मूल $\{-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं। उभयनिष्ठ मूल $-1$ है। उभयनिष्ठ मूल को छोड़कर,शेष मूल $\{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं।

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