ધારો કે વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}-y=1+4 sin x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$ અને $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF

Vedclass · Accepted Answer

$7$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$ અને $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}(1 + 4 \sin x)$,જે $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} + 4 e^{-x} \sin x$ માં પરિણમે છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y e^{-x} = \int e^{-x} dx + 4 \int e^{-x} \sin x dx$.સૂત્ર $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x)$ મળે છે.તેથી,$y e^{-x} = -e^{-x} - 2e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.$e^{-x}$ વડે ભાગતા,$y = -1 - 2(\sin x + \cos x) + C e^x$ મળે છે.$y(\pi) = 1$ આપેલ છે: $1 = -1 - 2(\sin \pi + \cos \pi) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = -1 - 2(0 - 1) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = 1 + C e^{\pi} \Rightarrow C = 0$.તેથી,$y(x) = -1 - 2(\sin x + \cos x)$.હવે $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) = -1 - 2(1 + 0) = -3$.અંતે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = -3 + 10 = 7$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=1+4 \sin x$ નો ઉકેલ $y=y(x)$ એ $y(\pi)=1$ નું સમાધાન કરે છે. તો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)+10$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ નો ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$,જ્યાં $y(0) = 1$ હોય,તેનો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ નો ઉકેલ કયા પ્રકારના વક્રનું કુળ દર્શાવે છે?

વિકલ સમીકરણ $(1-x^{2}) \frac{dy}{dx} + 2xy = x(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module