ધારો કે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $4x + \lambda y + 2z = 0$,$2x - y + z = 0$,અને $\mu x + 2y + 3z = 0$ (જ્યાં $\lambda, \mu \in R$) નો ઉકેલ શૂન્યતર (non-trivial) છે. તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

જો $A$ એક એવો શ્રેણિક હોય કે જેથી $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] A \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$ થાય, તો $A$ બરાબર શું થાય?

નીચેના સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4$,$\frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1$,અને $\frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2$.

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,અને $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$. જો $X = (x_1, x_2, x_3)^T$ અને $I$ એ $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક હોય,તો સમીકરણ સંહતિ $(A - 2I)X = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ને:

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=\lambda$,$5x-y+\mu z=10$ અને $2x+3y-z=6$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય,તો:

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{bmatrix}$, જ્યાં $a$ અને $b$ એ સમીકરણ $x^2 - 4x + 2 = 0$ ના બીજ છે. જો $A + A^{-1} = kI_2$ હોય, તો $k$ ની કિંમત શું છે?