ધારો કે (1, 1) અને (frac{1}{10}, 100) બિંદુઓમ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\alpha, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \beta)$ માં છેદે છે.સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\alpha, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \beta)$ માં છેદે છે.સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.$A$ માટે,$Y = 0 \implies -y = \frac{dy}{dx}(\alpha - x) \implies \alpha = x - y \frac{dx}{dy}$.$B$ માટે,$X = 0 \implies Y - y = \frac{dy}{dx}(-x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.આપેલ છે કે $PA: PB = 1: k$,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$x = \frac{k \cdot \alpha + 1 \cdot 0}{k + 1} = \frac{k \alpha}{k + 1} \implies \alpha = \frac{k + 1}{k} x$.$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{k + 1}{k} x = x - y \frac{dx}{dy} \implies \frac{x}{k} = -y \frac{dx}{dy} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{ky}{x}$.સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = -k \int \frac{dx}{x} \implies \ln y = -k \ln x + C \implies y x^k = C$.$(1, 1)$ માંથી પસાર થતા $C = 1$. $(\frac{1}{10}, 100)$ માંથી પસાર થતા $100 \cdot (\frac{1}{10})^k = 1 \implies 10^2 \cdot 10^{-k} = 10^0 \implies 2 - k = 0 \implies k = 2$.વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1 \implies \frac{dy}{dx} = \ln(2x + 1)$ છે.સંકલન કરતા: $y = \int \ln(2x + 1) dx = \frac{1}{2} (2x + 1) \ln(2x + 1) - x + C$.$y(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $2 = \frac{1}{2}(1)(0) - 0 + C \implies C = 2$.તેથી,$y(x) = \frac{2x + 1}{2} \ln(2x + 1) - x + 2$.$y(1) = \frac{3}{2} \ln 3 - 1 + 2 = \frac{3}{2} \ln 3 + 1$.$4y(1) - 5 \ln 3 = 4(\frac{3}{2} \ln 3 + 1) - 5 \ln 3 = 6 \ln 3 + 4 - 5 \ln 3 = \ln 3 + 4$.

Similar Questions

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).

વિકલ સમીકરણ $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$ નો $x=0, y=1$ આગળ ઉકેલ શોધો.

$y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y - \cos y = x$ એ વિકલ સમીકરણ $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ નો ઉકેલ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module